已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 18:40:35
已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值
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已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值
已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值

已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值
考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．运用对称分析,借助图形求U的最小值．此题考查了轴对称---最短路径问题,将表达式转化为勾股定理,体现了数形结合在解题中的作用
作线段AB=2,
过A作AC⊥AB,且AC=2,
过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1
在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2
连结PC,PD ,CD
由勾股定理得
CP=√(a²+2²)=√(a²+4)
DP=√(b²+1²)=√(b²+1)
CD=√[(2+1)²+2²]=√13
由两点之间线段最短得
CP+DP≥CD
即√(a²+4)+√(b²+1)≥√13
所以若a+b=2,则u=√(a²+4)+√(b²+1) 的最小值是√13
解2
分析：将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1) ,得到u的关于a的表达式,再利用勾股定理,将表达式转化为直角三角形两斜边PC、PD的和,利用勾股定理求和即可.
将b=2-a代入u=√(a²+4)+√(b²+1)
得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)
构造如下图形,其中AB=2,AC=2,BD=1,AC⊥AB,BD⊥AB
P是AB上任意一点,点C是点A关于直线AB的对称点
设PA=a,则u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²) =PC+PD
当D、P、E三点共线时,u的值最小,此时由勾股定理可求得u=√(a²+2²)+√((2-a)²+1²)的最小值为√13
解3
作图可知,最小值相对于点（0,2）和点（2,-1）的距离
相当于求x轴上一点到点（0,2）和点（2,1）的距离和的最小值 ,也就是√13

将a=2-b,带入，求导，得到b=2/3时为最小值。

已知a,b均为正数,且a+b=2,求u=√(a^2+4)+√(b^2+1)的最小值 地已知a,b均为正数,且a+b=2,求u=√(a^2+4)+√(b^2+1)的最小值 已知a b均为正数,且a+b=2,求U=根号a²+4+根号b²+1的最小值（有过程） 已知a,b均为正数,且A+B=2 求U=根号下a²+4 +根号下b²+1 的最小值 已知a、b均为正数,且a+b=2,求u=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值 已知a+b均为正数,且a+b=2,求U=√（a²+4）+√（b²+1）的最小值 已知a,b均为正数,且ab-(3a+2b)=1,求a+b的最小值 已知a为正数,b为负数,且|a|=2,|b|=3.求a+b的值. 已知A、B均为正数,且A+B=2,求U=根号（a^2+4）+根号（b^2+1）的最小值（有步骤） 已知a、b均为正数,且a-b=5,ab=36,求a+b的值 已知a,b是正数,且a+b=2,求u=根号(a平方+1)+根号(b平方+4)的最小值 已知a,b是正数,且a+b=2,求u=根号(a平方+1)+根号(b平方+4)的最小值 已知a,b均为正数,且1/b+1/b=-1/a+b,求（b/a）的平方+（a/b）的平方的值 已知a.b均为正数,且1/a+1/b=-1/a+b.求（b/a)的平方+（a/b)的平方的值 已知a b为正数,且a^2+2b^2=6,求a*根号下1+b^2 的最大值及此时a b的值 已知a,b,c均为正数,且abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值 已知a,b是正数,且a+b=2,则1/a+1/b的最小值为 已知a b是正数,且a+b=2,则1/a+1/b的最小值为