作业帮过抛物线作y=x方的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:10:15
过抛物线作y=x方的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
过抛物线作y=x方的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
过抛物线作y=x方的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB,抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P,求动点P的轨迹方程.
由题知,OA.OB均存在斜率.设OA方程为y=kx,则OB为y=-1/kx.联立y=kx和y=x^2,得A(k,k^2).联立y=-1/kx和y=x^2,得B(-1/k,1/k^2).所以可求AB斜率为(k^2-1)/k,方程为y=(k^2-1)/kx+1,则OP斜率为-k/(k^2-1),方程为y=-k/(k^2-1)x.联立AB和OP的方程即为P的坐标.
y=-k/(k^2-1)x(1),y-1=(k^2-1)/kx(2).将(1)*(2),得y(y-1)=-x^2,即P的方程为x^2+y^2-y=0
把OA:y=kx代入y=x^2,
解得A(k,k^2),
∵OA⊥OB,
∴以-1/k代k,得B(-1/k,1/k^2),
设P(x,y),由抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，得
OP⊥AB,AP‖PB,
∴x(-1/k-k)+y(1/k^2-k^2)=0,(x-k)/(-1/k-x)=(y-k^2)/(1/k^2-y)
∴x+y(k-1...
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把OA:y=kx代入y=x^2,
解得A(k,k^2),
∵OA⊥OB,
∴以-1/k代k,得B(-1/k,1/k^2),
设P(x,y),由抛物线的顶点O在直线AB上的射影为P，得
OP⊥AB,AP‖PB,
∴x(-1/k-k)+y(1/k^2-k^2)=0,(x-k)/(-1/k-x)=(y-k^2)/(1/k^2-y)
∴x+y(k-1/k)=0,①(x-k)(1/k^2-y)=(-1/k-x)(y-k^2),
后者变为x(1/k^2-k^2)+(1/k+k)y=1/k+k,
即x(1/k-k)+y=1，②
由①，1/k-k=x/y,
代入②*y,化简得x^2+y^2-y=0.(y≠0）为所求。
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