作业帮在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为点P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的"折线距离",则椭圆x2…在平面直角坐标系中,定义d（P,Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为点P（x1,y1）,Q（x2,y2）两点之间的“折线距离”,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:07:24
在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为点P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的"折线距离",则椭圆x2…在平面直角坐标系中,定义d（P,Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为点P（x1,y1）,Q（x2,y2）两点之间的“折线距离”,
在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为点P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的"折线距离",则椭圆x2…
在平面直角坐标系中,定义d（P,Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为点P（x1,y1）,Q（x2,y2）两点之间的“折线距离”,则椭圆x2/2+y2=1上的一点P与直线3x+4y-12=0上一点Q的“折线距离”的最小值为（ ）.
发现网上的解析又和参考答案不一样晕了 ……
弄懂了追分QuQ!
在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|为点P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的"折线距离",则椭圆x2…在平面直角坐标系中,定义d（P,Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为点P（x1,y1）,Q（x2,y2）两点之间的“折线距离”,
基本思路是先取定P, 对在3x+4y-12 = 0上变动的Q, 求d(P,Q)的最小值.
再让P在椭圆x²/2+y² = 1上变动, 求上述最小值的最小值.
为了记号简便, 设坐标为P(r,s), Q(u,v).
由Q(u,v)在3x+4y-12 = 0上, 有v = 3-3u/4.
故d(P,Q) = |r-u|+|s-v| = |r-u|+|s-3+3u/4|.
对于固定的r, s, 上式是关于u的分段线性函数(图像是3段折线).
因为线性函数在区间上的最小值一定是端点处的取值,
所以上式得最小值一定可在r-u = 0或s-3+3u/4 = 0时取得.
分别代入得|s-3+3r/4| = |3r+4s-12|/4与|r-4(3-s)/3| = |3r+4s-12|/3.
因此最小值就是|3r+4s-12|/4.
接下来只需让P(r,s)在x²/2+y² = 1上变动, 使|3r+4s-12|/4最小.
方法很多, 三角换元是比较正统的.
由r²/2+s² = 1, 可设r = √2·cos(t), s = sin(t), t ∈ [0,2π).
问题化为|3√2·cos(t)+4sin(t)-12|/4的最小值.
设φ = arctan(3√2/4), 可得√34·sin(φ) = 3√2, √34·cos(φ) = 4.
故|3√2·cos(t)+4sin(t)-12|/4
= |√34·(sin(φ)cos(t)+cos(φ)sin(t))-12|/4
= |√34·sin(t+φ)-12|/4
= (12-√34·sin(t+φ))/4 (∵√34·sin(t+φ) ≤ √34 < 12)
≥ (12-√34)/4.
当t = π/2-φ时成立等号, 此时r = √2·cos(t) = 3√34/17, s = sin(t) = 2√34/17.
u = r = 3√34/17, v = 3-3u/4 = 3(68-3√34)/68.
可验证P(r,s), Q(u,v)分别在椭圆和直线上, 且d(P,Q) = (12-√34)/4.
如果对不等式充分熟悉, 可以简单一点.
一方面, d(P,Q) = |r-u|+|s-v|
= |r-u|+|s-3+3u/4|
= (4|r-u|+|4s+3u-12|)/4
≥ (3|r-u|+|4s+3u-12|)/4
= (|3r-3u|+|4s+3u-12|)/4
≥ |(3r-3u)+(4s+3u-12)|/4 (绝对值不等式)
= |3r+4s-12|/4.
另一方面, 由Cauchy不等式,
34 = (18+16)(r²/2+s²) ≥ (3r+4s)², 得3r+4s ≤ √34 < 12.
故|3r+4s-12|/4 = (12-(3r+4s))/4 ≥ (12-√34)/4.
最后需验证r = 3√34/17, s = 2√34/17,
u = 3√34/17, v = 3(68-3√34)/68时可以取得等号.