大一微积分解答:已知x>0.证明ln{(x+1)/x}>1/(1+x).

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/16 08:27:16
大一微积分解答:已知x>0.证明ln{(x+1)/x}>1/(1+x).
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大一微积分解答:已知x>0.证明ln{(x+1)/x}>1/(1+x).
考虑f(t)=ln(1+t)
在[0,x]上用拉格朗日中值定理：
ln(1+x)=[1/(1+ξ)]x 0

考虑f(t)=ln(1+t)－t/(1+t)，定义域t>0，
f'(t)=1/(1+t)－1/(1+t)^2=t/(1+t)^2>0，因此f(t)是递增函数，f(t)>f(0)=0，即
ln(1+t)>t/(1+t)。令t＝1/x，x>0，代入得
ln(1+1/x)>(1/x)/(1+1/x)，化简即得结论。

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