xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:19:53
xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,
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xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,
xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,

xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程,
设z=1/y³,则y³=1/z,dy=-y^4dz/3
代入原方程得-xy^4dz/3+(y+x²y^4)dx=0
==>-xy³dz/3+(1+x²y³)dx=0
==>-xdz/(3z)+(1+x²/z)dx=0
==>xdz-(z+x²)dx=0
==>dz/dx-z/x=x.(1)
方程(1)是一阶线性方程,可用常数变易法求解.
先求齐次方程dz/dx-z/x=0的通解
∵dz/dx-z/x=0 ==>dz/z=dx/x
==>ln│z│=ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)
==>z=Cx
∴齐次方程dz/dx-z/x=0的通解z=Cx (C是积分常数)
于是,设方程(1)的通解为z=C(x)x (C(x)表示关于x的函数)
∵dz/dx=C'(x)x+C(x)
代入方程(1)得C'(x)x+C(x)-C(x)=x
==>C'(x)=1
==>C(x)=x+C (C是积分常数)
∴方程(1)的通解是z=x(x+C)
==>1/y³=x(x+C)
==>y³=1/[x(x+C)]
故原微分方程通解是y³=1/[x(x+C)] (C是积分常数).

在Matlab中使用dsolve命令解得如下3组解，其中C1表示常数：
>> dsolve('x*Dy+(y+x^2*y^4)=0')

ans =

1/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)
-1/2/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/...

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在Matlab中使用dsolve命令解得如下3组解，其中C1表示常数：
>> dsolve('x*Dy+(y+x^2*y^4)=0')

ans =

1/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)
-1/2/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)
-1/2/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)/(x^2-exp(3/x*t)*C1)*(-(x^2-exp(3/x*t)*C1)^2)^(1/3)
当满足一定初值或边值条件时，可得到C1的值，希望对你有帮助。

收起

xdy/dx-2y+x=0 求：原方程 求微分方程xdy-(2y+x^4)dx=0., 求微分方程 (x+y)dx+xdy=0 的通解. xdy/dx=y+x^2 求通解 求微分方程的通解[y+(x^2+y^2)^1/2]dx-xdy=0 解方程（x+2y)dx-xdy=0 求 [y+x^2*e^(-x)]dx-xdy=0 的通解 xdy+(y+x^2y^4)dx=0 求解微分方程, 求微分方程（2x+y)dx+xdy=0的通解 求微分方程(x^2 cosx-y)dx+xdy=0的通解 求解微分方程xdy/dx-y=x^2+y^2 求微分方程xdy/dx+y=xe^x的通解 (y+√(y^2+x^2))dx-xdy=0,y(1)=0 求微分方程xdy/dx+y=3x y(1)=0 (x+y)dx+xdy=0的通解 (x+y)dx+xdy=0求其通解 求解微分方程 [y-x(x^2+y^2)]dx-xdy=0 求y(1+xy)dx-xdy=0通解