用数学归纳法证明:当整数n≥0时,(x+2)^(2n+2)-(x+1)^(n+1)能被x^2+3x+3整除?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 01:30:31
用数学归纳法证明:当整数n≥0时,(x+2)^(2n+2)-(x+1)^(n+1)能被x^2+3x+3整除?
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1)当整数n=0时,(x+2)^2-(x+1)=(x^2+4x+4)-x-1=x^2+3x+3能被x^2+3x+3整除
2)假设当整数n=K时,命题成立,即:(x+2)^(2K+2)-(x+1)^(K+1)能被x^2+3x+3整除
那么当整数n=K+1时:(x+2)^(2K+2+2)-(x+1)^(K+1+1)
=[(x+2)^(2K+2)]*(x+2)-[(x+1)^(k+1)]*(x+1)
=[(x+2)^(2K+2)-(x+1)^(K+1)]*(x+2)²-[(x+1)^(k+1)]*(x+1)+(x+1)^(K+1)*(x+2)²
=[(x+2)^(2K+2)-(x+1)^(K+1)]*(x+2)²-[(x+1)^(k+1)]*[(x+2)²-(x+1)]
=[(x+2)^(2K+2)-(x+1)^(K+1)]*(x+2)²-[(x+1)^(k+1)]*[(x²+3x+3)]
因为[(x+2)^(2K+2)-(x+1)^(K+1)]*(x+2)²能被x^2+3x+3整除
[(x+1)^(k+1)]*[(x²+3x+3)]也能被x^2+3x+3整除
所以(x+2)^(2K+2+2)-(x+1)^(K+1+1)能被x^2+3x+3整除
说明当整数n=K+1时命题成立,
由(1)(2)可知,命题对于n≥0整数都成立.

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